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    <title>域</title>
    <meta charset="utf-8" />
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</head>
<body>

<h2>域</h2>

<ol class="definition">
  设 `(bbb F";" +, *)` 为一环, 加法和乘法的单位元分别为 `0, 1`.  如果
  <li>`bbb F` 非平凡, 即 `|bbb F| gt 1`;</li>
  <li>`(bbb F, +)`, `(bbb F^**, *)` 是 Abel 群, 其中 `bbb F^** = bbb F\\{0}`;</li>
  则称 `bbb F` 为一<b>域 (field)</b>.
</ol>

<p class="remark">
  易知 `0 != 1`, 否则 `|bbb F| = 1`, `bbb F` 是平凡的.<br/>
  域上可以进行四则运算: 令 `bbb F` 为一域, `a, b in bbb F`.
  称 `a+b` 为 `a, b` 的和, `a-b := a + (-b)` 为 `a, b` 的差,
  `a * b` 为 `a, b` 的积, `b != 0` 时, `a//b := a b^-1` 为 `a, b` 的商.
</p>

<p class="example">
  `ZZ` 模素数 `p` 的剩余类环 `ZZ_p` 为一域.
  这是因为 `AA a in ZZ_p^**`, 有 `(a, p) = 1`, 于是同余方程
  `a x -= 1 (mod p)` 有唯一解, 即 `a` 存在逆元.
</p>

<p class="definition">
  称 `bbb K sube bbb F` 为域 `bbb F` 的一个<b>子域</b>,
  如果它关于 `bbb F` 的加法和乘法也成域, 记作 `bbb K le bbb F`.
  没有真子域的域称为<b>素域</b>, 如 `QQ` 和 `ZZ_p` 都是素域.
  后面将证明, 它们也是同构意义下仅有的两种素域.
</p>

<p class="corollary">
  <b>子域的判定</b>
  域 `bbb K le bbb F` 当且仅当 `(bbb K, +)`, `(bbb K^**, *)`
  分别为 `(bbb F, +)` 和 `(bbb F^**, *)` 的子群, 即
  <span class="formula">
    `(AA a, b in bbb K)` `a - b in bbb K`,
    `quad (AA a, b in bbb K^**)` `a b^-1 in bbb K^**`.
  </span>
</p>

<h3>整环的分式域</h3>

<p class="definition">
  设 `R` 为无零因子的交换环 (特别地, 整环),
  `bbb F` 为一域, 称 `bbb F` 为 `R` 的<b>分式域</b>, 如果
  在同构意义下, `R` 为 `bbb F` 的子环, 且任意 `bbb F` 中的元素 `x`
  可以写成 `R` 中两个元素的商, 即
  <span class="formula">
    `EE a in R`, `b in R\\{0}`, `quad x = a b^-1`.
  </span>
  称 `R` 为 `bbb F` 的<b>整数环</b>, 如果 `bbb F` 为 `R` 的分式域.
</p>

<p class="theorem">
  设 `R` 为无零因子的交换环, 则 `R` 的分式域存在且惟一.
</p>

<ol class="proof enum">
  <li>
    <ol>这里给出分式域存在性的构造性证明, 可以参考由整数环构造有理数域的方法.
      记 `R^** = R\\{0}`, `T = R xx R^**`.
      <li>定义 `T` 上的二元关系 `~`:
        <span class="formula">
          `(a, b) ~ (c, d) iff a d = b c`.
        </span>
        可以验证 `~` 为 `T` 上一等价关系. 事实上自反性与对称性显然,
        至于传递性, 设 `a d = b c`, `c f = d e`, 则
        <span class="formula">
          `a d f = b c f = b d e`,
        </span>
        由 `d != 0` 得 `a f = b e`.
      </li>
      <li>作商集 `bbb F = T//~`, 记 `(a, b)` 所在的等价类
        `bar ((a","b)) = a/b`, 则
        <span class="formula">
          `bbb F = {a/b | a in R, b in R^**}`.
        </span>
        在 `bbb F` 上定义二元合成 `+, *`:
        <span class="formula">
          `a/b + c/d = (a d + b c)/(b d)`,
          `quad a/b * c/d = (a c)/(b d)`.
        </span>
        可以验证 `+, *` 是良定义的, 因此是二元运算. 又 `+, *`
        都满足结合律与交换律, 且 `0 := 0/b` 为 `bbb F` 的零元,
        `-a/b := (-a)/b` 为 `a/b` 的负元, `1:= b/b` 为 `bbb F` 的幺元,
        `b/a` 为 `a/b != 0` 的逆元. 因此 `(bbb F, +, *)` 为一域.
      </li>
      <li>显然 `R' = {a/1 | a in R}` 是 `bbb F` 的子环, 且 `AA a/b in bbb
        F`, `EE a/1, b/1 in R'`,
        <span class="formula">
          `a/b = a/1 * (b/1)^-1`.
        </span>
        容易验证 `f: a in R to a/1 in R'` 为一同构映射, 从而 `R`
        在同构意义下是 `bbb F` 的子环, 且 `bbb F` 中任意元素可以写为 `R`
        中两个元素的商. 因此 `bbb F` 为 `R` 的分式域.
      </li>
    </ol>
  </li>
  <li>
    关于惟一性, 只需证分式域是包含 `R` 的最小域
    (例如, 有理数域是包含整数环的最小域).
    令 `bbb K` 为包含 `R` 的任一域, 则
    <span class="formula">
      `bbb F' = {a b^-1 | a, b in R, b != 0}`
    </span>
    是 `bbb K` 的子域. 事实上,
    <span class="formula">
      `(AA a b^-1, c d^-1 in bbb F')` `a b^-1 - c d^-1 = (a d - c b)(b d)^-1 in bbb F'`,<br/>
      `(AA a b^-1, c d^-1 in bbb F'\\{0})`
      `(a b^-1)(c d^-1)^-1 = (a d)(b c)^-1 in bbb F'\\{0}`.
    </span>
    又容易验证 `f: a/b in bbb F to a b^-1 in bbb F'` 为一同构映射,
    这就得到: 同构意义下 `R` 的分式域惟一.
  </li>
</ol>

<p class="example">
  `ZZ` 的分式域是 `QQ`.
  令 `n in ZZ\\{0}`, 则 `n ZZ` 的分式域也是 `QQ`.
  `bbb F[x]` 的分式域是
  <span class="formula">
    `bbb F(x) = {(f(x))/(g(x)) | f(x), g(x) in bbb F[x], g(x) != 0}`.
  </span>
</p>

<h3>域上的一元多项式环</h3>

<p>	关于一般域 `bbb F`, 由于 `bbb F` 为一交换幺环, 所以 `bbb F`
	上存在一元多项式环 `bbb F[x]`. 数域上多项式的整除, 因式, 最大公因式,
	不可约多项式, 互素, 因式分解以及根的相关概念和定理, 在 `bbb F[x]`
	中都成立. 罗列部分如下:
</p>

<p class="theorem">
  <b>余数定理</b>
  令 `bbb F` 为一域, `f(x) in bbb F[x]`, `a in bbb F`. 则 `x-a` 除
  `f(x)` 的余式为一常数, 此常数等于 `f(a)`.
</p>

<p class="theorem">
  <b>零点-因子定理</b>
  假设同上. 则 `a` 为 `f(x)` 的根当且仅当 `(x-a) | f(x)`.
</p>

<p class="theorem">
  <b>次数公式</b> `del(f g) = del f del g`.
</p>

<p class="proof">
  这是由域的无零因子决定的.
</p>

<p class="theorem">
  <b>关于根的数目上限</b>
  令 `bbb F` 为一域. `f(x) in bbb F[x]\\{0}`, 则 `f(x)` 在 `bbb F`
  中最多有 `n = del f(x)` 个根 (重根以重数计).
</p>

<p class="proof">
  反设 `r_1, cdots, r_(n+1)` 都是 `f` 的根, 则
  <span class="formula">
    `(x-r_1)cdots(x-r_(n+1)) | f(x)`.
  </span>
  左侧为 `n+1` 次, 右侧为 `n` 次, 与次数公式矛盾.
</p>

<p class="theorem">
  域 `bbb F` 上任两个多项式的最大公因式不因域的扩大而改变.
</p>

<h3>域的特征与素域</h3>

<p class="definition">
  <b>域的特征</b> 定义为它的加法群的最大元素阶; 如果这个阶为无穷,
  则称域的特征是零.  即
  <span class="formula">
    `"char"(bbb F) = { max_(a in bbb F) |a|, "如果这个最大阶存在"; 0, otherwise:}`.
  </span>
  域是无零因子的, 因此域的特征只能是零或素数, 如:
  任意数域 (即 `CC` 的子域) 的特征为零, 数域上多项式环的分式域的特征为零,
  有限域 `ZZ_p` 的特征为 `p`.
  在特征为 `0` 的域中, 每个非零元的阶都为 `oo`;
  在特征为 `p` 的域中, 每个非零元的阶都为 `p`.
</p>

<p class="theorem">
  设 `bbb P` 是域 `bbb F` 全体子域的交,
  则 `bbb P` 是含于 `bbb F` 的惟一素域, 称为 <b>`bbb F` 的素域</b>.
</p>

<p class="proof">
  由 `{0, 1} sube bbb P` 知 `bbb P` 非空, 又 `bbb P le bbb F`,
  显然 `bbb P` 无真子域, 因此为一素域.  由 `bbb P` 的构作过程知,
  它是惟一的.
</p>

<p class="theorem">
  令 `bbb F` 为一域, `bbb P` 是其素域. 则
  <span class="formula">
    `bbb P ~= { QQ, if "char"(bbb F) = 0; ZZ_p, if "char"(bbb F) = p:}`
  </span>
  从而, 两个域的特征相同当且仅当它们的素域同构.
</p>

<p class="proof">
  记 `bbb F` 的幺元为 `1`. 考虑同态 `f: n in ZZ to n*1 in bbb F`.
  若 `"char"(bbb F) = 0`, 则只有 `n = 0` 才能使 `n*1 = 0`, 即
  `"Ker"f = {0}`.
  由同态基本定理, `"Im"f ~= ZZ//"Ker"f = ZZ`, 从而 `"Im"f` 为一整环.
  记 `"Im"f` 的分式域为 `bbb F_1`,
  由于同构的整环有同构的分式域, 所以 `bbb F_1 ~= QQ`.
  由域的封闭性知 `bbb F` 的任一子域都包含 `"Im"f`, 从而包含 `bbb F_1`,
  于是 `bbb F_1` 为 `bbb F` 的素域.
  <br/>
  若 `"char"(bbb F) = p` 为一素数, 则 `"Ker"f = (:p:)`,
  类似有 `"Im"f` 的分式域同构于 `ZZ//(:p:) = ZZ_p` 的分式域.
  但 `ZZ_p` 中任意非零元都可逆, 它的分式域仍是 `ZZ_p`, 即一素域.
</p>

<p class="definition">
  <b>域的同态与同构</b> 若 `f: bbb F to bbb K`
  关于 `bbb F` 的加法群和乘法群都为一同态,
  则称 `f` 是 `bbb F` 到 `bbb K` 的同态.
  域的同态只有零同态和单同态:
  前者将 `bbb F` 的所有元素都映到零, 后者是 `bbb F` 到 `bbb K` 的嵌入.
</p>

<p class="proof">
  视 `f` 为 `bbb F` 上的环同态, 考虑理想 `"Ker"f`, 由于域只有平凡的理想,
  故 `"Ker"f = bbb F` 或 `"Ker"f = {0}`, 即 `f` 为零同态或单同态.
</p>

<p class="example">
  <b>Frobenius 自同态</b>
  令域 `bbb F` 的特征为素数 `p`,
  注意到 `p | (p;k)`, `k = 1, 2, cdots, p-1`,
  对任意 `a, b in bbb F`, 由特征的定义有 `p a = 0`. 故
  <span class="formula">
    `(a+-b)^p = a^p +- b^p`.
  </span>
  因此 `varphi: a mapsto a^p` 是 `bbb F` 到自身的同态, 称为 Frobenius 自同态.
  显然它不是零同态, 因此是单同态.
  又, 对正整数 `n` 归纳可得
  <span class="formula">
    `(a+-b)^(p^n) = a^(p^n) +- b^(p^n)`.
  </span>
  由 Fermat 小定理知道, `varphi` 保持素域 `bbbF_p` 中的元素不动.
  特别当 `bbb F` 为有限域, 单射 `varphi` 也为一满射, 称为 Frobenius 自同构.
</p>

<p class="example">
  `QQ` 和 `ZZ_p` 的自同构只有恒等自同构,
  因此任意素域的自同构只有恒等自同构.
</p>

<p class="proof">
  域的自同构把 0 映为 0, 1 映为 1.
  从而, `n = n*1` 映为 `n`, `a//b = (a*1)//(b*1)` 映为 `a//b`.
  因此 `QQ` 的自同构只有恒等自同构. `ZZ_p` 的原因类似.
</p>

<div class="p example">
  <b>一个非平凡的自同构</b>
  域 `GF(2^2) := bbb F_2[x] // (:x^2+x+1:)` 中的元素为 `0, 1, x, 1+x`,
  它们是 `x` 的多项式, 系数只取 `0` 或 `1`, 且 `x^2 = 1 + x`.
  这个域上有非平凡自同构 `varphi`, 其中 `varphi(x) = 1+x`, `varphi(1+x) = x`. 事实上, `GF(2^2)` 的加法表为
  <table>
    <tr>
      <td>`+`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`1`</td>
      <td>`x`</td>
      <td>`1+x`</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>`0`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`1`</td>
      <td>`x`</td>
      <td>`1+x`</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>`1`</td>
      <td>`1`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`1+x`</td>
      <td>`x`</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>`x`</td>
      <td>`x`</td>
      <td>`1+x`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`1`</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>`1+x`</td>
      <td>`1+x`</td>
      <td>`x`</td>
      <td>`1`</td>
      <td>`0`</td>
    </tr>
  </table>
  乘法表为
  <table>
    <tr>
      <td>`*`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`1`</td>
      <td>`x`</td>
      <td>`1+x`</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>`0`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`0`</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>`1`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`1`</td>
      <td>`x`</td>
      <td>`1+x`</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>`x`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`x`</td>
      <td>`1+x`</td>
      <td>`1`</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>`1+x`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`1+x`</td>
      <td>`1`</td>
      <td>`x`</td>
    </tr>
  </table>
  将两表中的 `x` 与 `1+x` 地位对调, 仍得到同样的加法/乘法表,
  只不过行/列发生了置换.
</div>

<h2>扩域</h2>

<h3>域的扩张</h3>

<p class="definition">
  如果域 `bbb F le bbb K`, 则称 `bbb K` 为 `bbb F`
  的一个<b>扩张</b>或<b>扩域</b>, 记为 `bbb K // bbb F`
  (`bbb K` over `bbb F`).  `bbb F` 称为 `bbb K` 的<b>基域</b>,
  若 `bbb F le bbb L le bbb K`, 则 `bbb L` 称为 `bbb F` 和 `bbb K`
  的<b>中间域</b>.
</p>

<p> 通过向域中添加新的元素可以实现域的扩张.
  最简单的情形就是一次添加一个元素, 定义如下:
</p>

<p class="definition">
  考虑扩域 `bbb K//bbb F`,
  将 `bbb K` 的子集 `S` 添加 `bbb F` 中得到的域记为 `bbb F(S)`,
  定义为 `bbb K` 中所有含 `bbb F uu S` 的子域的交:
  <span class="formula">
    `bbb F(S) := (:bbb F uu S:)`
  </span>
  `bbb F(S)` 是包含 `bbb F uu S` 的最小域.<br>
  当 `S` 为有限集 `{a_1, a_2, cdots, a_n}` 时,
  `bbb F(S)` 也记为 `bbb F(a_1, a_2, cdots, a_n)`;
  特别 `bbb F({a}) = bbb F(a)`, 称为 `bbb F` 的一个<b>单扩域</b>.
</p>

<p class="theorem">
  获得的中间域与子集的添加次序无关:
  令 `bbb K` 为 `bbb F` 的一个扩域, `S, T sube bbb K`, 则
  <span class="formula">
    `bbb F(S)(T) = bbb F(S uu T) = bbb F(T)(S)`.
  </span>
</p>

<p class="proof">
  由已知 `bbb F, S, T sube bbb F(S)(T)`, 因而 `bbb F, S uu
  T sube bbb F(S)(T)`. 由 `bbb F(S uu T)` 的最小性知 `bbb F(S uu T) sube
  bbb F(S)(T)`.<br/>
  另一方面, `bbb F, S, T sube bbb F(S uu T)`, 因而 `bbb F(S), T sube F(S
  uu T)`. 由 `bbb F(S)(T)` 的最小性知 `bbb F(S)(T) sube bbb F(S uu T)`.
  于是 `bbb F(S)(T) = bbb F(S uu T)`.
  同理 `bbb F(T)(S) = bbb F(S uu T)`.
</p>

<p class="theorem">
  (超限归纳法) 域 `bbb F` 上的任一扩域都可以通过一系列单扩张获得.
</p>

<h3>有限与无限、代数与超越</h3>

<p class="definition">
  <b>有限与无限</b>
  视 `bbb K` 为 `bbb F` 上的线性空间 (加法是 `bbb K` 中的加法,
  数乘是 `bbb F` 与 `bbb K` 中元素的乘法), 则称 `"dim"bbb K` 为
  `bbb K` 在 `bbb F` 上的<b>(扩张) 次数</b>, 记为 `del(bbb K//bbb F)`
  或 `[bbb K : bbb F]`.
  按扩张次数, 扩域可以分为有限次和无限次两类.
</p>

<p class="definition">
  <b>代数与超越</b>
  设 `alpha in bbb K`, 若 `alpha` 是 `bbb F` 上某个多项式的根:
  <span class="formula">
    `(EE f(x) in bbb F[x])` `quad f(alpha) = 0`,
  </span>
  则称 `alpha` 为 `bbb F` 上的<b>代数元</b>,
  `f` 为 `alpha` 的<b>零化多项式</b>. 若不存在这样的多项式,
  则称 `alpha `为<b>超越元</b>.
  若 `bbb K` 的每一元素都是 `bbb F` 上的代数元,
  则称 `bbb K` 为 `bbb F` 的一个<b>代数扩域</b>,
  否则为<b>超越扩域</b>. 特别当 `bbb K \\ bbb F` 的元素都为 `bbb F`
  上的超越元时, 称 `bbb K` 为 `bbb F` 的<b>纯超越扩域</b>.
</p>

<p class="remark">
  我们主要研究代数扩域.
</p>

<p class="corollary">
  有限次扩域都是代数扩域.
</p>

<p class="proof">
  反设 `bbb F le bbb K` 为超越扩域, 则存在 `alpha in bbb K` 为 `bbb F`
  上超越元, 因此对任意正整数 `n`,
  <span class="formula">
    `1, alpha, alpha^2, cdots, alpha^n`
  </span>
  线性无关. 从而 `bbb K` 只能是无穷维的.
</p>

<p class="example">
  若一个复数是某个整系数多项式的根, 则称它是一个<b>代数数</b>,
  否则是一个<b>超越数</b>. 全体代数数记为 `A_QQ`.
  代数数和超越数分别是 `QQ` 上的代数元和超越元.
</p>

<ol class="example">
  <li>`CC` 为 `RR` 的二次扩域;</li>
  <li>`RR` 和 `CC` 都是 `QQ` 的超越扩域;</li>
  <li>`A_QQ` 为 `QQ` 的无限次代数扩域;</li>
</ol>

<p class="theorem">
  <b>单超越扩张</b> 是指在域中添加一个超越元形成的扩张.
  设 `alpha` 在 `bbb F` 上超越, 则有环同构:
  <span class="formula">
    `bbb F[alpha] ~= bbb F[x]`.
  </span>
  因为同构的整环有同构的分式域, 所以单超越扩域 `bbb F(alpha)` 同构于
  `bbb F[x]` 的分式域 `bbb F(x)`:
  <span class="formula">
    `bbb F(alpha) ~= bbb F(x)`.
  </span>
</p>

<p>类似有单代数扩张, 我们在下节讨论.</p>

<h2>单代数扩域</h2>

<p class="definition">
  <b>最小多项式</b>
  考虑扩域 `bbb K//bbb F`. `alpha in bbb K` 是 `bbb F` 上的代数元,
  在 `alpha` 的所有首一的零化多项式中,
  次数最低的那个称为它的<b>最小多项式</b>,
  不可约的称为它的<b>既约多项式</b>.
</p>

<p class="proof">
  最小多项式存在且惟一: 因为 `alpha` 为代数元, 所以存在它的零化多项式;
  再由次数最小可知它是惟一的.
</p>

<p class="theorem">
  最小多项式就是既约多项式.
</p>

<ol class="proof">
  <li>设 `alpha` 是域 `bbb F` 的代数元, `p(x)` 是最小多项式.
    反设 `p(x)` 在 `bbb F` 上可约, 则存在次数大于零的 `f, g in bbb F[x]`,
    使得 `p(x) = f(x) g(x)`. 由 `f(alpha) g(alpha) = p(alpha) = 0`,
    且 `bbb F(alpha)` 无零因子 (因为它是域) 知
    <span class="formula">
      `f(alpha) = 0` 或 `g(alpha) = 0`.
    </span>
    与 `p(x)` 的最小性矛盾.
  </li>
  <li>设 `p(x), q(x)` 都是 `alpha` 的零化多项式,
    又记 `d(x) = (p(x), q(x))`, 则存在 `s, t in bbb F[x]` 使得
    <span class="formula">
      `d(x) = s(x) p(x) + t(x) q(x)`.
    </span>
    因此 `d(alpha) = 0`, 即 `d(x)` 也是零化多项式.<br/>
    若 `p(x)` 在 `bbb F` 上不可约, 下证 `p(x) = d(x)`.
    事实上只需证 `p(x) | d(x)`. 由带余除法
    <span class="formula">
      `d(x) = a(x) p(x) + r(x)`, `quad del r lt del p`
    </span>
    知, `r` 为零化多项式, 因而只能 `r = 0`, 从而 `p(x) | d(x)`.
    因此 `p(x) = d(x) | q(x)`.
    由 `q(x)` 的任意性知 `p(x)` 是最小多项式.
  </li>
</ol>

<ol class="corollary">
  <li>由定理证明过程知, `alpha` 在 `bbb F`
    上的最小多项式是其全体零化多项式的公因子;</li>
  <li>若 `bbb F le bbb K`, `alpha` 在 `bbb F` 和 `bbb K`
    上的最小多项式分别为 `p(x)`, `q(x)`, 则由 `bbb F` 上的零化多项式也是
    `bbb K` 上的零化多项式, 推出 `q(x) | p(x)`. 因此随着域的扩大,
    最小多项式的次数相应减小.
  </li>
</ol>

<p class="theorem">
  <b>单代数扩张</b>
  令 `alpha` 为域 `bbb F` 的代数元, `p(x)` 是最小多项式, 则
  <span class="formula">
    `bbb F(alpha) = bbb F[alpha] ~= bbb F[x] // (: p(x) :)`.
  </span>
</p>

<p class="proof">
  作环的<b>代入同态</b>:
  <span class="formula">
    `varphi: bbb F[x] to bbb F[alpha]`<br/>
    `f(x) mapsto f(alpha)`.
  </span>
  可以验证 `varphi` 为一满同态. 由同态基本定理,
  <span class="formula">
    `bbb F[alpha] ~= bbb F[x] // "Ker"varphi`.
  </span>
  `"Ker"varphi` 即为 `alpha` 的全体零化多项式, 它由最小多项式生成, 于是
  `"Ker"varphi = (: p(x) :)`.<br>
  由 `bbb F[x]` 为主理想整环 (PID) 和 `p(x)` 在 `bbb F` 上不可约得到,
  `(:p(x):)` 是 `bbb F[x]` 的极大理想, 故 `bbb F[x] // (: p(x) :)` 为一域.
  从而, `bbb F[alpha]` 也是域.
</p>

<ol class="remark">
  <li>`(: p(x) :)` 是最小多项式生成的理想,
    它表示 `bbb F` 上以 `p(x)` 为因子的全体多项式, 亦即全体零化多项式.</li>
  <li>单代数扩张的良好性质在于, 添加 `alpha` 得到的环 `bbb F[alpha]`
    已经是域; 换言之, 域 `bbb F(alpha)` 中的元素都具有 `f(alpha)` 的形式,
    其中 `f in bbb F[x]`.
  </li>
</ol>

<p class="theorem">
  单代数扩域 `bbb F(alpha)` 的次数等于 `alpha` 的最小多项式 `p(x)` 的次数:
  <span class="formula">
    `[bbb F(alpha): bbb F] = del p(x)`.
  </span>
  故单代数扩域是有限次扩域, 从而是代数扩域.
</p>

<p class="proof">
  任取 `f(alpha) in bbb F(alpha) = bbb F[alpha]`, 由带余除法
  <span class="formula">
    `f(x) = p(x) q(x) + r(x)`, `quad del r lt del p := n`.
  </span>
  从而 `f(alpha)` `= p(alpha) q(alpha) + r(alpha)` `= r(alpha)`.
  这说明 `f(alpha)` 可以表示为 `1, alpha, cdots, alpha^(n-1)` 的线性组合;
  另一方面, 由 `p(x)` 的最小性知 `1, alpha, cdots, alpha^(n-1)` 线性无关,
  故单代数扩域 `bbb F(alpha)` 的维数等于 `n`.
</p>

<!--
<h3>单超越扩域与单代数扩域的存在惟一性</h3>
?? -->

<h2>有限次扩域 <i>——即，有限生成的代数扩域</i></h2>

<p class="theorem">
  <b>次数公式</b>
  令域 `bbb F le bbb L le bbb K`, 则
  <span class="formula">
    `[bbb K: bbb F] = [bbb K: bbb L] [bbb L: bbb F]`.
  </span>
  上式对无穷次也成立.
</p>

<ol class="proof">
  <li>视 `bbb K` 为 `bbb L` 上线性空间, `bbb L` 为 `bbb F` 上线性空间,
    基底分别为 `alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n` 和 `beta_1, beta_2,
    cdots, beta_m`. 下证
    <span class="formula">
      `alpha_i beta_j`, `quad i = 1, 2, cdots, n`, `j = 1, 2, cdots, m`
    </span>
    构成 `bbb K` 作为 `bbb F` 上线性空间的基底. `AA alpha in K`, 有
    <span class="formula">
      `alpha = sum_(i=1)^n l_i alpha_i`
      `= sum_(i=1)^n alpha_i sum_(j=1)^m f_(i j) beta_j`
      `= sum_(i=1)^n sum_(j=1)^m f_(i j) alpha_i beta_j`.
    </span>
    其中 `l_i in bbb L`, `f_(i j) in bbb F`. 再说明它们线性无关.  设
    <span class="formula">
      `sum_(i=1)^n sum_(j=1)^m f_(i j) alpha_i beta_j = 0`,
    </span>
    则由 `{alpha_i}_(i=1)^n` 构成 `bbb K` 在 `bbb L` 上的基底知
    <span class="formula">
      `sum_(j=1)^m f_(i j) beta_j = 0`, `quad i = 1, 2, cdots, n`.
    </span>
    又 `{beta_j}_(j=1)^m` 构成 `bbb L` 在 `bbb F` 上的基底, 故
    <span class="formula">
      `f_(i j) = 0`, `quad i = 1, 2, cdots, n`, `j = 1, 2, cdots, m`.
    </span>
  </li>
  <li>再说明 `[bbb K: bbb L]`, `[bbb L: bbb F]` 有一个等于 `oo` 时,
    `[bbb K: bbb F]` 也等于 `oo`. 反设 `[bbb K: bbb F] lt oo`,
    基底为 `alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n`.
    这时 `bbb L` 是 `bbb K` 在 `bbb F` 上的线性子空间, 因此是有限维的,
    即 `[bbb L: bbb F] lt oo`.  又 `AA alpha in bbb K`,
    <span class="formula">
      `alpha = sum_(i=1)^n f_i alpha_i`, `quad f_i in bbb F sube bbb L`.
    </span>
    因此 `bbb K` 中的向量能被 `bbb L` 中有限个向量线性表出, 从而
    `[bbb K: bbb L] lt oo`.
  </li>
</ol>

<p class="corollary">
  <b>有限次扩域的传递性</b> 有限次扩域的有限次扩域还是有限次扩域.
</p>

<p class="corollary">
  若 `[bbb K: bbb F]` 为素数, 则 `bbb F` 与 `bbb K` 无真中间域.
  (逆命题是否成立?)
</p>

<p class="corollary">
  `bbb F` 上代数元的和, 差, 积, 商 (除数不为零) 仍为 `bbb F` 上代数元.
</p>

<p class="proof">
  设 `alpha, beta` 在 `bbb F` 上代数, 则 `bbb F le bbb F(alpha) le bbb F(alpha, beta) // bbb F`
  为有限次扩张, 从而是代数扩张.
</p>

<p class="theorem">
  <b>有限次扩域本质是有限生成的代数扩域</b>
  `bbb K//bbb F` 是有限次扩域当且仅当存在从 `bbb F` 到 `bbb K`
  的一个单代数扩域的有限升链:
  <span class="formula">
    `bbb F = bbb F_0 le bbb F_1 le bbb F_2 le cdots le bbb F_l = bbb K`,
  </span>
  其中 `bbb F_i` 是 `bbb F_(i-1)` 的单代数扩域, `i = 1, 2, cdots, l`.
</p>

<ol class="proof">
  <li>充分性: 由次数公式,
    <span class="formula">
      `[bbb K: bbb F] = [bbb F_l: bbb F_(l-1)] cdots [bbb F_1: bbb F_0] lt oo`.
    </span>
  </li>
  <li>必要性:
    将 `bbb K` 在 `bbb F` 上的基底 `alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n`
    (有限次扩域必为代数扩域, 因此它们都是代数元) 逐个添加进来, 得到
    <span class="formula">
      `bbb K = bbb F(alpha_1)(alpha_2)cdots(alpha_n)`.
    </span>
  </li>
</ol>

<ol class="remark">
  <li>设 `bbb K` 为 `bbb F` 的有限次扩域, 基底为 `alpha_1, alpha_2, cdots,
    alpha_n`, 则 `bbb K = bbb F(alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n)`.
  </li>
  <li>`[bbb K: bbb F] = 1 iff bbb K = bbb F`.</li>
</ol>

<p class="theorem">
  <b>代数扩域的传递性</b>
  若 `bbb K // bbb L`, `bbb L // bbb F` 均为代数扩域,
  则 `bbb K // bbb F` 也是代数扩域.
</p>

<p class="proof">
  任取 `alpha in bbb K`, 设它在 `bbb L` 上的最小多项式为 `f`,
  将 `f` 的系数 `a_0, a_1, cdots, a_n`
  添加到 `bbb F` 中, 得到 `bbb L_1 = bbb F(a_0, a_1, cdots, a_n)`, 则
  `alpha` 在 `bbb L_1` 上的最小多项式仍为 `f`, `bbb L_1(alpha) // bbb L_1`
  为有限次扩张.
  但 `a_0, a_1, cdots, a_n in bbb L`, 因而这些系数均为 `bbb F` 上代数元,
  从而 `bbb L_1 // bbb F` 也是有限次扩张.
  综上 `bbb L_1(alpha) // bbb F` 是有限次扩张, 故 `alpha` 为 `bbb F`
  上代数元, 由 `alpha` 的任意性, 结论得证.
</p>

<p class="corollary">
  设 `u` 为域 `bbb F` 上超越元, 则 `bbb F(u)`
  是纯超越扩域, 且对任意 `alpha in bbb F(u)\\bbb F`,
  `bbb F(u)//bbb F(alpha)` 是代数扩张.
</p>

<p class="proof">
  `bbb F(u)` 同构于分式域 `bbb F(x)`. 取 `alpha = f(u)//g(u) in bbb F(u)\\bbb F`, 则 `f(u) - g(u) alpha = 0`, 表明 `u` 在 `bbb F(alpha)` 上代数. 反设 `alpha` 在 `bbb F` 上代数, 则由代数扩张的传递性, `bbb F le bbb F(alpha) le bbb F(u)` 是代数扩张, 矛盾; 因此 `alpha` 在 `bbb F` 上超越.
</p>

<p>什么时候有限次扩域可以由单代数扩域一步生成呢, 下面的定理告诉我们:</p>

<p class="theorem">
  <b>Artin 本原元定理*</b>
  设 `bbb F` 为无限域, `bbb K` 是其有限次扩张, 则 `bbb K` 为 `bbb F`
  的单代数扩张当且仅当两个域之间只有有限个不同的中间域.
</p>

<ol class="proof">
  <li>充分性: 取 `u in bbb K`, 使得 `bbb F(u)`
    是所有单代数扩张所得的中间域里面次数最大的, 下证 `bbb F(u) = bbb K`.
    反设结论不成立, 则存在 `bm v in bbb K\\bbb F(u)`. 由已知, 形如
    <span class="formula">
      `bbb F(u + a v)`, `quad a in bbb F`
    </span>
    的中间域只有有限个. 而 `bbb F` 为无限域, 由鸽巢原理, 存在 `a, b in bbb
    F`, 满足
    <span class="formula">
      `bbb F(u + a v) = bbb F(u + b v)`, `quad a != b`.
    </span>
    故
    <span class="formula">
      `v = ((u+a v) - (u+b v))/(a-b) in bbb F(u + a v)`,<br/>
      `u = (u+a v) - a v in bbb F(u + a v)`.
    </span>
    因为 `v !in bbb F(u)`, 有 `bbb F(u) lt bbb F(u + a v)`, 从而
    `del(bbb F(u), bbb F) lt del(bbb F(u+a v), bbb F)`, 与 `u`
    的取法矛盾.
  </li>
  <li>必要性: 令 `bbb K = bbb F(u)`, `bbb F le bbb L le bbb K`,
    `u` 在 `bbb F`, `bbb L` 上的最小多项式分别为 `p(x), q(x)`,
    则 `q(x) | p(x)`. 将
    `q(x) = x^n + q_(n-1) x^(n-1) + cdots + q_1 x + q_0`
    的全体系数添加到 `bbb F` 上, 记生成的域为 `bbb L'`:
    <span class="formula">
      `bbb L' = bbb F(q_0, q_1, cdots, q_(n-1))`,
    </span>
    显然 `bbb L' le bbb L`, 下证 `bbb L' = bbb L`.
    注意到 `u` 在 `bbb L'` 上的最小多项式仍为 `q(x)`, 有
    <span class="formula">
      `del(bbb K, bbb L') = del q(x) = del(bbb K, bbb L)`.
    </span>
    借助维数公式, `del(bbb L', bbb F) = del(bbb L, bbb F)`.
    因为具有包含关系且维数相同的线性空间是相等的, 所以 `bbb L' = bbb
    L`.<br/>
    我们已经证明, `bbb F` 和 `bbb K` 的任一中间域和 `p(x)` 的因式一一对应,
    但 `p(x)` 只有有限个因式, 故中间域也是有限个.
  </li>
</ol>

<ol class="remark">
  小结
  <li>有限次扩张是代数扩张; 有限步的单代数扩张是有限次扩张.</li>
  <li>有限次扩张、代数扩张均可传递.</li>
  <li>代数元的四则运算结果仍为代数元.</li>
</ol>

<h2>代数闭域与代数闭包</h2>

<ol class="definition">
  若 `bbb L` 不存在比自身更大的代数扩域,
  换言之它的任意扩域都是超越扩域, 则称 `bbb L`
  是<b>代数闭域</b>.
  代数闭域的特价表述:
  <li>任意 `bbb L` 以外的元素在 `bbb L` 上超越;
  换言之若 `alpha` 在 `bbb L` 上代数, 则 `alpha in bbb L`.
  </li>
  <li>`bbb L` 上任意次数大于零的多项式在 `bbb L`
    中有根. 由代数学基本定理知道 `CC` 是代数闭域.</li>
</ol>

<p class="corollary">
  代数闭域一定是无限域.
</p>

<p class="proof">
  反设 `bbb L` 为有限域, 元素为 `a_1, cdots, a_n`,
  则多项式 `prod (x-a_i) - 1` 在 `bbb L` 上没有根,
  否则得到 `0=1` 的矛盾.
</p>

<p class="definition">
  考虑扩域 `bbb K//bbb F`. 将 `bbb K` 中所有 `bbb F`
  上代数元添加到 `bbb F` 中所得的域 `bbb F^"alg"` 称为
  `bbb F` 在 `bbb K` 中的<b>代数闭包</b>.
  `bbb F^"alg"//bbb F` 为代数扩张. 任取 `u in bbb K\\bbb
  F_"alg"`, 则 `u` 在 `bbb F_"alg"` 上是超越元,
  (否则与代数扩张的传递性矛盾), 即 `bbb K//bbb F_"alg"`
  为纯超越扩张. 这证明了代数闭包必为代数闭域.
  一般地, 若不限定范围, 使用超限归纳法将 `bbb F`
  上所有代数元加到 `bbb F` 中, 得到一个很大的域, 也称为
  `bbb F` 的代数闭包.
</p>

<h2>分裂域<i>——即，有限次正规扩域</i></h2>

<p class="definition">
  <b>正规扩域</b>
  记 `f(x) in bbb F[x] \\ bbb F` 在复数域上的全部根为 `S_(f(x))`.
  如果关于任意不可约多项式 `p(x) in bbb F[x]`, `p(x)`
  的全部根要么全在 `bbb K` 中, 要么全不在 `bbb K` 中:
  <span class="formula">
    `S_(p(x)) sube bbb K` or `S_(p(x)) nn bbb K = O/`,
  </span>
  则称 `bbb K` 为 `bbb F` 的一个<b>正规扩域</b>.
</p>

<ol class="definition">
  令 `f(x)` 是域 `bbb F` 上的 `n ge 1` 次多项式, 记它的全部 `n`
  个根组成的集合为 `S`, 则称 `bbb F(S)` 为 `bbb F`
  的<b>分裂域</b>或<b>根域</b>.
</ol>

<p class="remark">
  `f` 在它的分裂域 `bbb K` 上能被完全因式分解:
  <span class="formula">
    `f(x) = a(x-k_1)cdots(x-k_n)`, `quad k_1, cdots, k_n in bbb K`,
  </span>
  而且 `bbb K` 是满足上式的最小域.
</p>

<!--
<h3>可分扩域</h3>
-->

<h2>有限域</h2>

<p class="definition">
  <b>有限域</b>又称 <b>Galois 域</b>, 是指阶 (即元素个数) 有限的域,
  其特征为一素数 `p`, 其素域同构于 `ZZ_p`.
</p>

<p class="theorem">
  有限域的阶形如 `p^n`, `p` 为素数, `n` 为正整数.
  `p^n` 阶有限域记为 `GF(p^n)`.
</p>

<p class="proof">
  令 `bbb F` 是特征为 `p` 的有限域, 视 `bbb F` 为 `bbb Z_p` 上的线性空间
  (加法是 `bbb F` 上的加法, 数乘是 `bbb Z_p` 中元素与 `bbb F`
  中元素的乘法), 基底为 `alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_n`.  则
  <span class="formula">
    `bbb F = {sum k_i alpha_i: k_i in ZZ_p, i = 1, 2, cdots, n}`.
  </span>
  `n` 个系数中, 每个都有 `p` 种取法, 于是 `|bbb F| = p^n`.
</p>

<p class="remark">
  `p` 阶有限域就是 `ZZ_p`.
  一般地, `p^n` 阶有限域同构于
  <span class="formula">
    `bbb ZZ_p[x] // (: m(x) :)`, `quad m` 为 `n` 次不可约多项式.
  </span>
  即 `GF(p^n)` 的元素是 `ZZ_p` 上次数小于 `n` 的多项式,
  且多项式运算是模 `m(x)` 的.<br>
  例如, `x^n + x + 1` 为 `ZZ_2` 上不可约多项式
  (代入 `x = 0, 1` 都不能令它为 0). `n` 为偶数时,
  `x^n + x^(n-1) + cdots + x + 1` 是 `ZZ_2` 上不可约多项式.
  又如, 有限域 `GF(2^2)` 中的所有元素为 `0, 1, x, x+1`,
  其中
  <span class="formula">
    `x + (x+1) = 2 x + 1 = 1`,<br>
    `x(x+1) = x^2 + x = -1 = 1`.
  </span>
</p>

<p class="theorem">
  <b>有限域的乘法群是循环群</b>
  `GF(p^n)` 中存在一个<b>生成元 (或本原元、原根)</b> `g`,
  它生成域中所有非零元素, 即
  <span class="formula">
    `GF(p^n) = {0, g, g^2, cdots, g^(q-1) = 1}`,
    `quad q = p^n`.
  </span>
</p>

<p class="proof">
  令 `G` 为 `GF(p^n)` 的乘法群, 由
  <a href="2.html#the-when-abel-cyclic">Abel 群何时为循环群?</a> 这个定理,
  只需证对任意正整数 `m`, `x^m = 1` 在 `G` 中最多有 `m` 个解.
  由于 `GF(p^n)` 是域, `m` 次方程在域中的解不超过 `m` 个, 证毕.
</p>

<p class="example">
  取 `ZZ_2` 上不可约多项式 `m(x) = x^3 + x + 1`, 令 `g` 是 `m(x)`
  的一个根, 则通过反复乘以 `g` 再取模得到 `GF(2^3)` 的乘法群:
  <span class="formula">
    `g^1 = g`,
    `quad g^2 = g^2`,
    `quad g^3 = g+1`,
    `quad g^4 = g^2+g`,<br>
    `quad g^5 = g^2+g+1`,
    `quad g^6 = g^2+1`,
    `quad g^7 = 1`.
  </span>
</p>

<p class="example">
  由于有限域 `GL(2^n)` 中的元素是 `ZZ_2` 上的多项式, 系数非 0 即 1,
  我们可以用 `n` 位二进制数来表示它们. 如上例的 `g^1` 到 `g^7`
  用二进制表示为
  <span class="formula">
    010, 100, 011, 110, 111, 101, 001.
  </span>
</p>

<h2>例子</h2>

<p class="example">
  `sqrt 2 + sqrt 3` 的最小多项式是
  `(x-sqrt2-sqrt3)(x+sqrt2+sqrt3)(x^2-5x+2sqrt6)`.
  `sqrt 2 + root 3 3` 是 `x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1` 的根.
</p>

<p class="example">
  <b>分母有理化</b>
  记 `x = sqrt 2`, `y = root 3 3`, 则
  <span class="formula">
    `1/(x+y) = (x-y)(x^2-x y+y^2)(x^2+x y+y^2)//(x^6-y^6)`.
  </span>
</p>

<p class="example">
  `u, v` 是整数,
  <span class="formula">
    `sqrt(u +- sqrt v) in QQ(sqrt 1, sqrt 2, sqrt 3 cdots)`,
  </span>
  那么 `u^2 - v` 是平方数吗?
</p>

<p class="example">
  从单位正方形到全体有理点.
  已知平面上单位正方形的四个顶点
  `(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)`,
  仅用一把无刻度直尺, 就能作出平面上任意有理点.
</p>

<h2>尺规可作的正多边形</h2>

<p>先给出 <a href="../misc/2.html#exp-cos-pi-5">`cos{:(2pi)/5:}`</a> 的另一种求法.</p>

<p class="lemma">
  `sum_(1 le k le n) cos{:(2 k pi)/(2n+1):} = -1/2`.
</p>

<p class="proof">
  利用恒等式 `sum_(1 le k le 2n+1) "e"^(2k pi "i"//(2n+1)) = 0`,
  因为 `2n+1` 为奇数, 所以除了 1 以外的其余 `2n` 个单位根成对共轭,
  取实部即得结论.
</p>

<p class="example">
  求 `cos{:(2pi)/5:}`.
</p>

<p class="solution">
  记 `theta = (2pi)/5`.
  在引理中取 `n = 2` 有
  <span class="formula">
    `cos theta + cos 2theta = -1/2`,<br>
    `cos theta cos 2theta`
    `= 1/2 (cos theta + cos 3theta)`
    `= 1/2 (cos theta + cos 2theta)`
    `= -1/4`,
  </span>
  解得 `cos theta = (sqrt5-1)/4`.
</p>

<p class="example">
  求 `cos{:(2pi)/17:}`.
</p>

<div class="p solution">
  [来自 <a href="https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E5%8D%81%E4%B8%83%E8%BE%B9%E5%BD%A2/3202424">百度百科</a>]
  由引理
  <span class="formula">
    `sum_(k=1)^8 cos k theta = -1/2`, `quad theta = (2pi)/17`.
  </span>
  <!--
  使用 Chebyshev 多项式计算 `cos k theta`, 得
  <span class="formula">
    `-4x - 20x^2 + 40x^3 + 120x^4 - 96x^5 - 224x^6 + 64x^7 + 128x^8 = -1/2`.
  </span>
  -->
  令
  <span class="formula">
    `x = cos theta + cos 2theta + cos 4theta + cos 8theta`,<br>
    `y = cos 3theta + cos 6theta + cos 12theta + cos 24theta`<br>
    `= cos 3theta + cos 6theta + cos 5theta + cos 7theta`,
  </span>
  则
  <span class="formula">
    `x + y = -1/2`, `quad x y = -1` <sup>[注]</sup>.
  </span>
  因此 `x, y = (-1+-sqrt 17)/4`. 继续分离 `x, y` 的项, 设
  <span class="formula">
    `x_1 = cos theta + cos 4theta`, `quad x_2 = cos 2theta + cos 8theta`,<br>
    `y_1 = cos 3theta + cos 5theta`, `quad y_2 = cos 6theta + cos 7theta`,
  </span>
  于是
  <span class="formula">
    `x_1 + x_2 = x`, `quad x_1 x_2 = -1/4`, <sup>[注]</sup><br>
    `y_1 + y_2 = y`, `quad y_1 y_2 = -1/4`. <sup>[注]</sup>
  </span>
  解得
  <span class="formula">
    `x_(1,2) = (sqrt 17-1 +- sqrt(34-2 sqrt 17))//8`,<br>
    `y_(1,2) = (-sqrt 17-1 +- sqrt(34+2 sqrt 17))//8`.
  </span>
  最终, 由
  <span class="formula">
    `cos theta + cos 4theta = x_1`, `quad cos theta cos 4theta = y_1//2`
  </span>
  得到 `cos theta` 的值.
  <hr>
  <b>注</b> 简记 `c_n = cos n theta`, 利用积化和差暴力展开:
  <span class="formula">
    `x_1 x_2 = (c_1 + c_4)(c_2 + c_8)`
    `= 1/2(c_1 + c_3 + c_7 + c_9 + c_2 + c_6 + c_4 + c_12)`,
  </span>
  利用共轭关系, 上式即 `1/2 sum_(n=1)^8 c_n = -1/4`. 同理 `y_1 y_2
  = -1/4`, `x y = -1`.
</div>

<p class="theorem">
  Fermat 素数是指形如 `2^(2^n) + 1` 的素数.
  对于素数 `p`, 正 `p` 边形尺规可作, 换言之
  `cos(2pi//p)` 可以通过 `QQ` 上一系列的二次扩域得到,
  当且仅当 `p` 是 Fermat 素数.
</p>

<ol class="proof">
  先证必要性.
  <li>
    [参见<a href="../number/3.html#3-4">分圆多项式</a>]
    设 `p` 为奇素数, 则 `f(x) = 1 + cdots + x^(p-1)` 在 `QQ` 上不可约
    (换元 `y = x - 1` 然后用 Eisenstein 判别法).
    因此, 若记 `zeta_p = "e"^(2pi"i"//p)`, 则 `QQ(zeta_p)` 是 `QQ` 的 `p-1`
    次扩域, `f(x)` 为它的最小多项式.
  </li>
  <li>记 `c = cos(2pi//p)`, 由于 `c = (zeta_p + zeta_p^-1)//2`, 所以
    <span class="formula">
      `QQ sub QQ(c) sub QQ(zeta_p)`.
    </span>
    我们断言 `QQ(zeta_p)` 是 `QQ(c)` 的二次扩域. 这是因为, 一方面
    `QQ(c)` 中全为实数, 而 `QQ(zeta_p)` 中不全为实数,
    所以扩张次数大于 1, 另一方面, 由于 `zeta_p` 是
    <span class="formula">
      `x^2 - 2 c x + 1`
    </span>
    的根, 所以扩张次数至多为 2. 那么, 由次数公式知道, `QQ(c)` 就是
    `QQ` 的 `(p-1)//2` 次扩域.
  </li>
  <li>若正 `p` 边形尺规可作, 则 `QQ(c)` 在 `QQ` 上的扩张次数是 2
    的幂, 这推出 `p = 2^r + 1`, `r` 为正整数. 下证 `r` 是 2 的幂.
    事实上, 若 `r = a b`, `a ge 3` 为奇数, 则
    <span class="formula">
      `p = (2^(a b)+1) = (2^b+1)(2^((a-1)b) - 2^((a-2)b) + cdots + 1)`,
    </span>
    与 `p` 是素数相矛盾. 综上 `p` 是 Fermat 素数.
  </li>
</ol>

<p class="remark">
  历史上 Fermat 曾猜想形如 `2^(2^n)+1` 的整数都是素数;
  这对于 `n = 0, cdots, 4` 均成立: 3, 5, 17, 257, 65537 都是素数.
  然而 `n = 5` 时, Euler 指出 `2^32+1 = 641 * 6700417`.
</p>

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</body>
</html>
